İstatistiksel problemleri çözme yöntemlerinden biri güven aralığının hesaplanmasıdır. Örnek boyutu küçük olduğunda nokta tahminine tercih edilen bir alternatif olarak kullanılır. Güven aralığını hesaplama sürecinin oldukça karmaşık olduğuna dikkat edilmelidir. Ancak Excel programının araçları, onu biraz basitleştirmenize izin verir. Bunun pratikte nasıl yapıldığını öğrenelim.
Bu yöntem, çeşitli istatistiksel niceliklerin aralık tahmininde kullanılır. Bu hesaplamanın asıl görevi nokta tahmininin belirsizliklerinden kurtulmaktır.
Excel'de, bu yöntemi kullanarak hesaplamak için iki ana seçenek vardır: varyans bilindiğinde ve bilinmediğinde. İlk durumda, fonksiyon hesaplamalar için kullanılır. GÜVEN NORMASI, ve ikincisinde GÜVEN.ÖĞRENCİ.
Yöntem 1: GÜVEN NORM işlevi
Şebeke GÜVEN NORMASIİstatistiksel işlev grubunu ifade eden , ilk olarak Excel 2010'da ortaya çıktı. Bu programın önceki sürümleri, eşdeğerini kullanır. GÜVEN. Bu operatörün görevi, popülasyon ortalaması için normal dağılıma sahip bir güven aralığı hesaplamaktır.
Sözdizimi aşağıdaki gibidir:
GÜVEN NORM(alfa, standart_dev, boyut)
"Alfa" güven düzeyini hesaplamak için kullanılan anlamlılık düzeyini gösteren bir argümandır. Güven düzeyi aşağıdaki ifadeye eşittir:
(1-"Alfa")*100
"Standart sapma"özü adından belli olan bir argümandır. Bu, önerilen örneğin standart sapmasıdır.
"Boyut"örneğin boyutunu belirleyen bir argümandır.
Bu işleç için tüm bağımsız değişkenler gereklidir.
İşlev GÜVENöncekiyle tamamen aynı argümanlara ve olanaklara sahiptir. Sözdizimi:
GÜVEN(alfa; standart_geliştirme; boyut)
Gördüğünüz gibi, farklılıklar sadece operatör adınadır. Bu özellik, uyumluluk nedenleriyle Excel 2010 ve daha yeni sürümlerde özel bir kategoride tutulmuştur. "Uyumluluk". Excel 2007 ve önceki sürümlerinde, istatistiksel operatörlerin ana grubunda bulunur.
Güven aralığı sınırı, aşağıdaki formun formülü kullanılarak belirlenir:
X+(-)GÜVEN NORM
Neresi X seçilen aralığın ortasında bulunan örnek ortalamadır.
Şimdi belirli bir örnek kullanarak güven aralığının nasıl hesaplanacağına bakalım. Tabloda listelenen farklı sonuçlarla sonuçlanan 12 test gerçekleştirilmiştir. Bu bizim bütünlüğümüzdür. Standart sapma 8'dir. Güven aralığını %97 güven düzeyinde hesaplamamız gerekir.
- Veri işleme sonucunun görüntüleneceği hücreyi seçin. Düğmeye tıklayarak "İşlev Ekle".
- görünür İşlev Sihirbazı. Kategoriye git "İstatistiksel" ve adı vurgulayın "GÜVEN.NORM". Bundan sonra butona tıklayın TAMAM.
- Argümanlar penceresi açılır. Alanları doğal olarak argümanların adlarına karşılık gelir.
İmleci ilk alana ayarlayın - "Alfa". Burada önem derecesini belirtmeliyiz. Hatırladığımız gibi güven seviyemiz %97. Aynı zamanda şöyle hesaplandığını söylemiştik:(1-güven düzeyi)/100
Yani, değeri değiştirerek şunu elde ederiz:
Basit hesaplamalarla, argümanın "Alfa" eşittir 0,03 . Bu değeri alana girin.
Bildiğiniz gibi, standart sapma eşittir 8 . Bu nedenle sahada "Standart sapma" sadece o numarayı yaz.
alanında "Boyut" gerçekleştirilen testlerin eleman sayısını girmeniz gerekir. Hatırladığımız gibi, onlar 12 . Ancak formülü otomatikleştirmek ve her yeni test yapıldığında düzenlememek için bu değeri sıradan bir sayıya değil, operatörü kullanarak ayarlayalım. KONTROL. Böylece, imleci alana yerleştirdik "Boyut" ve ardından formül çubuğunun solunda bulunan üçgene tıklayın.
Son kullanılan işlevlerin bir listesi görüntülenir. operatör ise KONTROL Son zamanlarda kullandığınız, bu listede olması gerekir. Bu durumda, sadece adına tıklamanız gerekir. Aksi takdirde, bulamazsanız, konuya gidin "Daha fazla özellik...".
- Bize zaten tanıdık geliyor İşlev Sihirbazı. Gruba geri dönüyoruz "İstatistiksel". Oradaki adı seçiyoruz "KONTROL". düğmesine tıklayın TAMAM.
- Yukarıdaki operatör için bağımsız değişken penceresi görünür. Bu işlev, belirtilen aralıktaki sayısal değerler içeren hücre sayısını hesaplamak için tasarlanmıştır. Sözdizimi aşağıdaki gibidir:
SAYI(değer1, değer2,…)
argüman grubu "Değerler" sayısal verilerle dolu hücre sayısını hesaplamak istediğiniz aralığa bir başvurudur. Toplamda, bu tür 255'e kadar argüman olabilir, ancak bizim durumumuzda yalnızca bir tanesine ihtiyacımız var.
İmleci alana ayarlayın "Değer1" ve sol fare düğmesini basılı tutarak, popülasyonumuzu içeren sayfadaki aralığı seçin. Daha sonra adresi alanda görüntülenecektir. düğmesine tıklayın TAMAM.
- Bundan sonra uygulama hesaplamayı yapacak ve sonucu bulunduğu hücrede gösterecektir. Bizim özel durumumuzda, formül şu şekilde ortaya çıktı:
GÜVEN NORM(0.03,8,COUNT(B2:B13))
Hesaplamaların genel sonucu, 5,011609 .
- Ama hepsi bu değil. Hatırladığımız gibi, güven aralığının sınırı, hesaplama sonucunun ortalama örnek değerinden toplama ve çıkarma ile hesaplanır. GÜVEN NORMASI. Bu şekilde sırasıyla güven aralığının sağ ve sol sınırları hesaplanır. Örnek ortalamanın kendisi operatör kullanılarak hesaplanabilir ORTALAMA.
Bu operatör, seçilen sayı aralığının aritmetik ortalamasını hesaplamak için tasarlanmıştır. Aşağıdaki oldukça basit sözdizimine sahiptir:
ORTALAMA(sayı1, sayı2,…)
Argüman "Sayı" tek bir sayısal değer veya hücrelere bir başvuru veya hatta bunları içeren tüm aralıklar olabilir.
Bu nedenle, ortalama değerin hesaplanmasının görüntüleneceği hücreyi seçin ve düğmesine tıklayın. "İşlev Ekle".
- açılır İşlev Sihirbazı. Kategoriye geri dön "İstatistiksel" ve listeden bir isim seçin "ORTALAMA". Her zaman olduğu gibi, düğmeye tıklayın TAMAM.
- Argümanlar penceresi başlatılır. İmleci alana ayarlayın "1 numara" ve sol fare düğmesi basılıyken, tüm değer aralığını seçin. Koordinatlar alanda görüntülendikten sonra düğmesine tıklayın. TAMAM.
- bundan sonra ORTALAMA hesaplamanın sonucunu bir sayfa elemanına verir.
- Güven aralığının doğru sınırını hesaplıyoruz. Bunu yapmak için ayrı bir hücre seçin, işareti koyun «=»
ve fonksiyonların hesaplanmasının sonuçlarının bulunduğu sayfa elemanlarının içeriğini ekleyin ORTALAMA ve GÜVEN NORMASI. Hesaplamayı gerçekleştirmek için düğmesine basın. Girmek. Bizim durumumuzda, aşağıdaki formülü aldık:
Hesaplama sonucu: 6,953276
- Aynı şekilde güven aralığının sol sınırını da sadece bu sefer hesaplama sonucundan hesaplıyoruz. ORTALAMA operatörün hesaplama sonucunu çıkarın GÜVEN NORMASI. Aşağıdaki türdeki örneğimiz için formül ortaya çıkıyor:
Hesaplama sonucu: -3,06994
- Güven aralığını hesaplamak için tüm adımları ayrıntılı olarak açıklamaya çalıştık, bu nedenle her formülü ayrıntılı olarak açıkladık. Ancak tüm eylemleri tek bir formülde birleştirebilirsiniz. Güven aralığının sağ sınırının hesaplanması aşağıdaki gibi yazılabilir:
ORTALAMA(B2:B13)+GÜVEN(0.03,8;SAYI(B2:B13))
- Sol sınırın benzer bir hesaplaması şöyle görünür:
ORTALAMA(B2:B13)-GÜVEN.NORM(0.03,8,COUNT(B2:B13))
Yöntem 2: GÜVEN.ÖĞRENCİ işlevi
Ek olarak, Excel'de güven aralığının hesaplanmasıyla ilgili başka bir işlev daha vardır - GÜVEN.ÖĞRENCİ. Yalnızca Excel 2010'dan beri ortaya çıkmıştır. Bu operatör, Student t-dağılımını kullanarak popülasyon güven aralığının hesaplanmasını gerçekleştirir. Varyansın ve buna bağlı olarak standart sapmanın bilinmediği durumlarda kullanılması çok uygundur. Operatör sözdizimi şöyledir:
GÜVEN.ÖĞRENCİ(alfa,standart_dev,boyut)
Gördüğünüz gibi, bu durumda operatörlerin adları değişmeden kaldı.
Bir önceki yöntemde ele aldığımız aynı popülasyon örneğini kullanarak bilinmeyen bir standart sapma ile güven aralığının sınırlarını nasıl hesaplayacağımızı görelim. Güven seviyesini geçen seferki gibi %97 alacağız.
- Hesaplamanın yapılacağı hücreyi seçin. düğmesine tıklayın "İşlev Ekle".
- açılan İşlev Sihirbazı kategoriye git "İstatistiksel". Bir isim seç "GÜVEN.ÖĞRENCİ". düğmesine tıklayın TAMAM.
- Belirtilen operatör için bağımsız değişken penceresi başlatılır.
alanında "Alfa", güven seviyesi %97 olduğu için sayıyı yazıyoruz 0,03 . İkinci kez bu parametreyi hesaplama ilkeleri üzerinde durmayacağız.
Bundan sonra, imleci alana ayarlayın "Standart sapma". Bu sefer, bu gösterge bizim için bilinmiyor ve hesaplanması gerekiyor. Bu, özel bir işlev kullanılarak yapılır - STDEV.V. Bu operatörün penceresini çağırmak için formül çubuğunun solundaki üçgene tıklayın. Açılan listede istenen adı bulamazsak, öğeye gidin. "Daha fazla özellik...".
- çalışıyor İşlev Sihirbazı. Kategoriye taşınıyor "İstatistiksel" ve adını işaretleyin "STDEV.B". Ardından düğmeye tıklayın TAMAM.
- Argümanlar penceresi açılır. operatör görevi STDEV.Vörneklemede standart sapmanın tanımıdır. Sözdizimi şöyle görünür:
STDEV.V(sayı1,sayı2,…)
argüman olduğunu tahmin etmek kolaydır. "Sayı" seçim öğesinin adresidir. Seçim tek bir diziye yerleştirilirse, yalnızca bir argüman kullanarak bu aralığa bir bağlantı verebilirsiniz.
İmleci alana ayarlayın "1 numara" ve her zaman olduğu gibi sol fare düğmesini basılı tutarak seti seçin. Koordinatlar alana girdikten sonra düğmeye basmak için acele etmeyin. TAMAMçünkü sonuç yanlış olacaktır. İlk önce operatör argümanları penceresine dönmemiz gerekiyor GÜVEN.ÖĞRENCİ son argümanı yapmak için. Bunu yapmak için formül çubuğunda uygun isme tıklayın.
- Zaten tanıdık olan işlevin argüman penceresi tekrar açılır. İmleci alana ayarlayın "Boyut". Yine, operatör seçimine gitmek için zaten aşina olduğumuz üçgene tıklayın. Anladığınız gibi, bir isme ihtiyacımız var "KONTROL". Bu fonksiyonu önceki yöntemde hesaplamalarda kullandığımız için bu listede mevcut, bu yüzden üzerine tıklamanız yeterli. Bulamazsanız, ilk yöntemde açıklanan algoritmayı izleyin.
- Argüman penceresine girmek KONTROL, imleci alana getirin "1 numara" ve fare düğmesini basılı tutarak koleksiyonu seçin. Ardından düğmeye tıklayın TAMAM.
- Bundan sonra program, güven aralığının değerini hesaplar ve görüntüler.
- Sınırları belirlemek için yine örnek ortalamasını hesaplamamız gerekecek. Ancak, formülü kullanan hesaplama algoritması göz önüne alındığında ORTALAMAönceki yöntemde olduğu gibi ve sonuç değişmemiş olsa bile, bunun üzerinde ikinci kez ayrıntılı olarak durmayacağız.
- Hesaplama sonuçlarını toplama ORTALAMA ve GÜVEN.ÖĞRENCİ, güven aralığının doğru sınırını elde ederiz.
- Operatörün hesaplama sonuçlarından çıkarma ORTALAMA hesaplama sonucu GÜVEN.ÖĞRENCİ, güven aralığının sol sınırına sahibiz.
- Hesaplama bir formülde yazılırsa, bizim durumumuzda sağ sınırın hesaplanması şöyle görünecektir:
ORTALAMA(B2:B13)+ÖĞRENCİ GÜVENİ(0.03,STDV(B2:B13),SAYI(B2:B13))
- Buna göre, sol sınırı hesaplama formülü şöyle görünecektir:
ORTALAMA(B2:B13)-ÖĞRENCİ GÜVENİ(0.03,STDV(B2:B13),SAYI(B2:B13))
Gördüğünüz gibi, Excel programının araçları, güven aralığının ve sınırlarının hesaplanmasını önemli ölçüde kolaylaştırmayı mümkün kılıyor. Bu amaçlar için, varyansı bilinen ve bilinmeyen örnekler için ayrı operatörler kullanılır.
Konstantin Krawchik, tıbbi araştırmalarda güven aralığının ne olduğunu ve nasıl kullanılacağını net bir şekilde açıklıyor
"Katren-Style", tıbbi istatistikler üzerine Konstantin Kravchik'in bir döngüsünü yayınlamaya devam ediyor. Önceki iki makalede, yazar ve gibi kavramların açıklamasına değindi.
Konstantin Kravchik
Matematikçi-analist. Tıp ve beşeri bilimlerde istatistiksel araştırma alanında uzman
Moskova şehri
Klinik araştırmalarla ilgili makalelerde çok sık olarak gizemli bir ifade bulabilirsiniz: "güven aralığı" (%95 GA veya %95 GA - güven aralığı). Örneğin, bir makale şöyle diyebilir: "Farklılıkların önemini değerlendirmek için öğrenci t-testi kullanıldı, hesaplanan %95 güven aralığı ile."
"%95 güven aralığı"nın değeri nedir ve neden hesaplanır?
Güven aralığı nedir? - Bu, popülasyondaki gerçek ortalama değerlerin düştüğü aralıktır. Ve ne, "doğru olmayan" ortalamalar var mı? Bir anlamda, evet, yapıyorlar. İlgilenilen parametrenin tüm popülasyonda ölçülmesinin imkansız olduğunu, bu nedenle araştırmacıların sınırlı bir örneklemle yetindiğini açıkladık. Bu örnekte (örneğin, vücut ağırlığına göre), tüm genel popülasyondaki ortalama değeri yargıladığımız bir ortalama değer (belirli bir ağırlık) vardır. Bununla birlikte, örneklemdeki (özellikle küçük olan) ortalama ağırlığın, genel popülasyondaki ortalama ağırlıkla çakışması olası değildir. Bu nedenle, genel popülasyonun ortalama değer aralığını hesaplamak ve kullanmak daha doğrudur.
Örneğin, hemoglobin için %95 güven aralığının (%95 GA) 110 ile 122 g/L arasında olduğunu varsayalım. Bu, %95 olasılıkla, genel popülasyondaki hemoglobin için gerçek ortalama değerin 110 ila 122 g/l aralığında olacağı anlamına gelir. Yani genel popülasyondaki ortalama hemoglobini bilmiyoruz ama bu özellik için değer aralığını %95 olasılıkla belirtebiliriz.
Güven aralıkları, özellikle gruplar arasındaki ortalamalar arasındaki farkla veya etki büyüklüğü denen şeyle ilgilidir.
İki demir müstahzarının etkinliğini karşılaştırdığımızı varsayalım: uzun süredir piyasada olan ve yeni tescil edilmiş olan. Tedavi sürecinden sonra, çalışılan hasta gruplarındaki hemoglobin konsantrasyonu değerlendirildi ve bizim için hesaplanan istatistiksel program, iki grubun ortalama değerleri arasındaki farkın% 95 olasılıkla aralığında olduğunu hesapladı. 1,72 ila 14,36 g/l (Tablo 1).
Sekme. 1. Bağımsız numuneler için kriter
(gruplar hemoglobin düzeyine göre karşılaştırılır)
Bu şu şekilde yorumlanmalıdır: genel popülasyonda yeni bir ilaç alan hastaların bir kısmında hemoglobin, halihazırda bilinen bir ilacı alanlara göre ortalama 1.72-14.36 g/l daha yüksek olacaktır.
Yani genel popülasyonda %95 olasılıkla gruplardaki hemoglobin ortalama değerlerindeki fark bu sınırlar içindedir. Bunun çok mu yoksa az mı olduğuna karar vermek araştırmacıya kalmış olacaktır. Bütün bunların amacı, bir ortalama değerle değil, bir dizi değerle çalışmamızdır, bu nedenle, gruplar arasındaki bir parametredeki farkı daha güvenilir bir şekilde tahmin ederiz.
İstatistiksel paketlerde, araştırmacının takdirine bağlı olarak, güven aralığının sınırları bağımsız olarak daraltılabilir veya genişletilebilir. Güven aralığının olasılıklarını düşürerek, ortalama aralığını daraltırız. Örneğin, %90 GA'da, ortalamalar (veya ortalama farklar) aralığı, %95 GA'dan daha dar olacaktır.
Tersine, olasılığı %99'a çıkarmak, değer aralığını genişletir. Grupları karşılaştırırken, CI'nin alt sınırı sıfır işaretini geçebilir. Örneğin, güven aralığının sınırlarını %99'a genişletirsek, aralığın sınırları -1 ile 16 g/L arasında değişir. Bu, genel popülasyonda gruplar olduğu ve incelenen özellik için ortalamalar arasındaki farkın 0 (M=0) olduğu anlamına gelir.
İstatistiksel hipotezleri test etmek için güven aralıkları kullanılabilir. Güven aralığı sıfır değerini geçerse, grupların çalışılan parametrede farklılık göstermediğini varsayan boş hipotez doğrudur. Sınırları %99'a genişlettiğimizde yukarıda bir örnek açıklanmıştır. Genel popülasyonda bir yerde, hiçbir şekilde farklılık göstermeyen gruplar bulduk.
Hemoglobin farkının %95 güven aralığı, (g/l)
Şekil, iki grup arasındaki ortalama hemoglobin farkının %95 güven aralığını bir çizgi olarak göstermektedir. Doğru, sıfır işaretini geçer, bu nedenle, sıfıra eşit ortalamalar arasında bir fark vardır, bu da grupların farklı olmadığı sıfır hipotezini doğrular. Gruplar arasındaki fark -2 ila 5 g/l arasında değişir, bu da hemoglobinin 2 g/l azalabileceği veya 5 g/l artabileceği anlamına gelir.
Güven aralığı çok önemli bir göstergedir. Bu sayede, gruplardaki farklılıkların gerçekten ortalamalardaki farklılıktan mı yoksa büyük bir örneklemden mi kaynaklandığını görebilirsiniz, çünkü büyük bir örneklemde farklılık bulma şansı küçük bir örnekten daha fazladır.
Uygulamada, böyle görünebilir. 1000 kişiden bir örnek aldık, hemoglobin seviyesini ölçtük ve ortalamalar arasındaki farkın güven aralığının 1,2 ila 1,5 g/L arasında olduğunu bulduk. Bu durumda istatistiksel anlamlılık düzeyi p
Hemoglobin konsantrasyonunun arttığını görüyoruz, ancak neredeyse algılanamaz bir şekilde, bu nedenle istatistiksel anlamlılık tam olarak numune boyutundan dolayı ortaya çıktı.
Güven aralıkları sadece ortalamalar için değil, oranlar (ve risk oranları) için de hesaplanabilir. Örneğin, geliştirilen ilacı alırken remisyona ulaşan hastaların oranlarının güven aralığı ile ilgileniyoruz. Oranlar için, yani bu tür hastaların oranı için %95 GA'nın 0.60-0.80 aralığında olduğunu varsayın. Böylece ilacımızın vakaların %60 ila 80'inde tedavi edici bir etkiye sahip olduğunu söyleyebiliriz.
Güven aralığı bize istatistik alanından geldi. Bu, bilinmeyen bir parametreyi yüksek derecede güvenilirlikle tahmin etmeye hizmet eden tanımlanmış bir aralıktır. Bunu açıklamanın en kolay yolu bir örnekle.
Örneğin, bir istemci isteğine sunucunun yanıt verme hızı gibi bazı rasgele değişkenleri araştırmanız gerektiğini varsayalım. Bir kullanıcı belirli bir sitenin adresini her yazdığında, sunucu farklı bir hızda yanıt verir. Böylece, araştırılan yanıt süresi rastgele bir karaktere sahiptir. Böylece, güven aralığı bu parametrenin sınırlarını belirlemenize izin verir ve ardından sunucunun %95 olasılıkla hesapladığımız aralıkta olacağını söylemek mümkün olacaktır.
Veya şirketin markasını kaç kişinin bildiğini bulmanız gerekiyor. Güven aralığı hesaplandığında örneğin %95 olasılıkla bunu bilen tüketicilerin payının %27 ile %34 aralığında olduğunu söylemek mümkün olacaktır.
Bu terimle yakından ilgili, güven düzeyi gibi bir değerdir. İstenen parametrenin güven aralığına dahil edilme olasılığını temsil eder. Bu değer, istediğimiz aralığın ne kadar büyük olacağını belirler. Aldığı değer ne kadar büyük olursa, güven aralığı o kadar dar olur ve bunun tersi de geçerlidir. Genellikle %90, %95 veya %99 olarak ayarlanır. %95 değeri en popüler olanıdır.
Bu gösterge aynı zamanda gözlemlerin varyansından da etkilenir ve tanımı, incelenen özelliğin uyduğu varsayımına dayanır.Bu ifade Gauss Yasası olarak da bilinir. Ona göre, bir olasılık yoğunluğu ile tanımlanabilen sürekli bir rastgele değişkenin tüm olasılıklarının böyle bir dağılımına normal denir. Normal dağılım varsayımının yanlış olduğu ortaya çıkarsa, tahmin yanlış olabilir.
İlk olarak, burada iki durum mümkündür için güven aralığının nasıl hesaplanacağını bulalım. Dağılım (rastgele bir değişkenin yayılma derecesi) bilinebilir veya bilinmeyebilir. Biliniyorsa, güven aralığımız aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
xsr - t*σ / (sqrt(n))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где
α - işareti,
t, Laplace dağıtım tablosundan bir parametredir,
σ, dağılımın kare köküdür.
Varyans bilinmiyorsa, istenen özelliğin tüm değerlerini biliyorsak hesaplanabilir. Bunun için aşağıdaki formül kullanılır:
σ2 = х2ср - (хр)2, burada
х2ср - incelenen özelliğin karelerinin ortalama değeri,
(xsr)2 bu özelliğin karesidir.
Bu durumda güven aralığının hesaplandığı formül biraz değişir:
xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где
xsr - örnek ortalama,
α - işareti,
t, Öğrenci dağıtım tablosu t \u003d t (ɣ; n-1) kullanılarak bulunan bir parametredir,
sqrt(n) toplam örnek boyutunun karekökü,
s, varyansın kare köküdür.
Bu örneği düşünün. 7 ölçümün sonuçlarına dayanarak, incelenen özelliğin 30 ve örnek varyansının 36 olarak belirlendiğini varsayalım. %99 olasılıkla, gerçek değerini içeren bir güven aralığı bulmak gerekir. ölçülen parametre
İlk önce, t'nin neye eşit olduğunu belirleyelim: t \u003d t (0.99; 7-1) \u003d 3.71. Yukarıdaki formülü kullanarak şunu elde ederiz:
xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))
30 - 3.71*36 / (sqrt(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))
21.587 <= α <= 38.413
Varyans için güven aralığı, hem bilinen bir ortalama durumunda hem de matematiksel beklenti hakkında veri olmadığında hesaplanır ve sadece varyansın yansız nokta tahmininin değeri bilinir. Burada hesaplama formüllerini vermeyeceğiz, çünkü bunlar oldukça karmaşıktır ve istenirse her zaman internette bulunabilirler.
Yalnızca Excel programını veya buna adı verilen bir ağ hizmetini kullanarak güven aralığını belirlemenin uygun olduğunu not ediyoruz.
Ölçülen niceliğin gerçek değerinin belirli bir aralık içinde olma olasılığına ne denir? güven seviyesi , veya güvenilirlik faktörü, ve aralık - güven aralığı.
Her güven seviyesinin kendi güven aralığı vardır. Özellikle, 0,67'lik bir güven aralığı, ile ile arasındaki bir güven aralığına karşılık gelir. Bununla birlikte, bu ifade yalnızca yeterince büyük sayıda ölçüm için (10'dan fazla) doğrudur ve 0.67 olasılığı yeterince güvenilir görünmemektedir - yaklaşık olarak üç ölçüm serisinin her birinde y güven aralığının dışında olabilir. Ölçülen niceliğin değerinin güven aralığı içinde olduğuna dair daha fazla güven elde etmek için, genellikle 0,95 - 0,99 güven olasılığı ile belirtilir. Ölçüm sayısının etkisi dikkate alınarak, belirli bir güven düzeyi için güven aralığı n aritmetik ortalamanın standart sapması çarpılarak bulunabilir
.
sözde Student katsayısı üzerinde. Bir dizi değer için öğrenci katsayıları ve n tabloda verilmektedir.
Tablo - Öğrenci katsayıları
| Ölçüm sayısı n | güven olasılığı y | |||
| 0,67 | 0,90 | 0,95 | 0,99 | |
| 2,0 | 6,3 | 12,7 | 63,7 | |
| 1,3 | 2,4 | 3,2 | 5,8 | |
| 1,2 | 2,1 | 2,8 | 4,6 | |
| 1,2 | 2,0 | 2,6 | 4,0 | |
| 1,1 | 1,8 | 2,3 | 3,3 | |
| 1,0 | 1,7 | 2,0 | 2,6 |
Son olarak ölçülen değer için y belirli bir güven düzeyi için y ve ölçüm sayısı n kondisyon
miktarı arayacağız rastgele hata miktarları y.
Örnek: bkz. ders numarası 5 - bir dizi sayı.
tanımlayalım
Ölçüm sayısı - 45 ve güven seviyesi - 0,95 ile Öğrenci katsayısının yaklaşık olarak 2.15'e eşit olduğunu elde ederiz. O halde bu ölçüm dizisi için güven aralığı 62.6'dır.
Kaçırma (brüt hata) - operatör hatalarıyla ilişkili veya dış etkiler için hesaba katılmamış büyük hatalar. Genellikle ölçüm sonuçlarının dışında tutulurlar. Hatalar genellikle dikkatsizlikten kaynaklanır. Cihazın arızalanması nedeniyle de oluşabilirler.
Güven aralığı belirli bir güven olasılığı γ ile, daha büyük bir örneklem büyüklüğü ile bu aralıkta olacak olan istatistiksel miktarın sınırlayıcı değerleridir. P(θ - ε olarak gösterilir. Pratikte, güven olasılığı γ, birliğe yeterince yakın olan γ = 0.9 , γ = 0.95 , γ = 0.99 değerlerinden seçilir.Servis ataması. Bu hizmet şunları tanımlar:
- genel ortalama için güven aralığı, varyans için güven aralığı;
- standart sapma için güven aralığı, genel kesir için güven aralığı;
Örnek 1. Kollektif bir çiftlikte, toplam 1.000 koyun sürüsünden 100 koyun seçici kontrollü kırkma işlemine tabi tutuldu. Sonuç olarak, koyun başına ortalama 4,2 kg yün makası belirlenmiştir. 0.99 olasılıkla koyun başına ortalama yün kesmesinin belirlenmesinde numunenin standart hatasını ve varyans 2.5 ise kesme değerinin bulunduğu sınırları belirleyin. Örnek tekrarlayıcı değildir.
Örnek #2. Moskova Kuzey Gümrük postasındaki ithal ürün partisinden, rastgele yeniden numune alma sırasına göre 20 "A" ürünü numunesi alındı. Kontrol sonucunda, numunedeki "A" ürününün ortalama nem içeriği belirlendi ve bu, % 1'lik bir standart sapma ile % 6 olarak ortaya çıktı.
0,683 olasılıkla, ithal edilen ürünlerin tamamındaki ürünün ortalama nem içeriğinin sınırlarını belirleyin.
Örnek #3. 36 öğrenciyle yapılan bir anket, bir akademik yılda okudukları ortalama ders kitabı sayısının 6 olduğunu göstermiştir. : A) bu rasgele değişkenin matematiksel beklentisi için 0,99 aralıklı tahmin güvenilirliği ile; B) Bu örneklem için hesaplanan, bir öğrencinin yarıyıl başına okuduğu ortalama ders kitabı sayısının, matematiksel beklentiden mutlak değerde 2'den fazla sapmadığı hangi olasılıkla iddia edilebilir?
Güven aralıklarının sınıflandırılması
Değerlendirilen parametre türüne göre:
Örnek türüne göre:
- Sonsuz örnekleme için güven aralığı;
- Nihai numune için güven aralığı;
Rastgele seçim için ortalama örnekleme hatasının hesaplanması
Örnekten elde edilen göstergelerin değerleri ile genel popülasyonun karşılık gelen parametreleri arasındaki tutarsızlık denir. temsil hatası.Genel ve örnek popülasyonun ana parametrelerinin tanımları.
| Örnek Ortalama Hata Formülleri | |||
| yeniden seçim | tekrarlanmayan seçim | ||
| orta için | paylaşım için | orta için | paylaşım için |
 |
|||
Uygun bir rastgele seçim yöntemiyle örnek boyutunu hesaplamak için formüller
| Seçim yöntemi | Örnek boyutu formülleri | ||
| orta için | paylaşım için | ||
| tekrarlanan | |||
| tekrar etmeyen |  |  |
|
Güven aralığı yöntemi
Güven aralığını bulma algoritması aşağıdaki adımları içerir:- güven olasılığı γ (güvenilirlik) verilir.
- a parametresinin tahmini örnekten belirlenir.
- P(α 1) bağıntısından güven aralığı (a - ε ; a + ε) hesaplanır.
Örnek 1. Bir tablet partisinin (250 adet) uygunluğunu kontrol ederken, bir tabletin ortalama ağırlığının 0,3 g ve ağırlığın standart sapmasının 0,01 g olduğu ortaya çıktı.Tablet ağırlığı normunun hangi güven aralığını bulun %90 olasılıkla düşer.
Çözüm.
Örnek. Örnek gözlemin sonuçlarına dayanarak (örnek B eki), popülasyonun ortalamasının, varyansının ve standart sapmasının yansız tahminlerini hesaplayın.
Çözümü İndir
Örnek. Popülasyonlardan B ve y örneklenmişse, y güven düzeyinde popülasyonların ortalamasını ve standart sapmasını tahmin etmek için güven aralıklarını bulun.
Çözümü İndir
Örnek.
1. Görev No. 2'de yapılan hesaplamaların sonuçlarını kullanarak ve bu verilerin uygun rastgele %10 tekrarsız seçim kullanılarak elde edildiğini varsayarak, şunları belirleyin:
a) Genel nüfus için hesaplanan özelliğin ortalama değerinin 0,954 güven olasılığı ile aşılmayacağı sınırlar;
b) ortalamanın marjinal hatasını %50 azaltmak için örnek boyutunun nasıl değiştirileceği.
2. 2 numaralı görevde yapılan hesaplamaların sonuçlarını kullanarak ve bu verilerin tekrarlanan seçim kullanılarak elde edildiğini varsayarak, şunları belirleyin:
a) Genel nüfusta, özniteliğin bireysel değerleri modu aşan işletmelerin payının değerinin, 0,954'lük bir güven olasılığı ile aşmayacağı sınırlar;
b) marjinal pay hatasını %20 azaltmak için örneklem boyutunun nasıl değiştirileceği.
Yönergeler
Egzersiz yapmak. Aynı tip parçaların üretimi için üretim hattı yeniden yapılanmaya tabi tutulmuştur Yeniden yapılanmadan önce ve sonra bu hatta üretilen parça partilerindeki reddedilme yüzdesini gösteren iki örnek verilmiştir Yeniden yapılanmadan sonra reddedilenlerin yüzdesinin güvenilir bir şekilde ifade edilebilir mi? parça partileri azaldı mı?
Örnek. Aşağıda, Rusya'nın Batı Sibirya petrol üssünün 49 kuyusu için sondaj maliyetleri (c.u.) ile ilgili veriler bulunmaktadır:
| 129 | 142 | 132 | 61 | 96 | 96 | 142 | 17 | 135 | 32 |
| 77 | 58 | 37 | 132 | 79 | 15 | 145 | 64 | 83 | 120 |
| 11 | 54 | 48 | 100 | 43 | 25 | 67 | 25 | 140 | 130 |
| 48 | 124 | 29 | 107 | 135 | 101 | 93 | 147 | 112 | 121 |
| 89 | 97 | 60 | 84 | 46 | 139 | 43 | 145 | 29 |
- n=5 hacimli bir numuneyi uygun rastgele bir şekilde yürütmek;
- Öğrencinin t-dağılım fonksiyonunu α=0.05 anlamlılık düzeyinde kullanarak hesaplanan örnek göstergelere (X, s 2) göre genel popülasyonun (X) ortalamasının aralık değerlerini belirlemek;
- ilk verilere göre genel popülasyonun (X) ortalamasının puan değerini belirleyin;
- (X) nokta değerini örnekten hesaplanan aralık değeri ile karşılaştırarak aralık hesaplamalarının doğruluğunu değerlendirmek;
1. Tablodan 5 değer seçin. Sütun 3: 132, 37, 48, 29, 60 olsun.
Bölümde "İstatistiksel serinin türü" Ayrık Seriler'i seçin. Satır sayısı alanına 5 girin. 
2. Başlangıç verilerini girin. 
Grup sayısı alanında " grup yapma».
Alan " Genel ortalama, varyans ve standart sapmanın güven aralığı"γ = 0.95 değerini belirtin (α=0.05'e karşılık gelir).
"Örnekleme" alanında, 10 değerini belirtin (49 değerden 5'i seçildiğinden, %10,2'ye (5/49x100%) karşılık gelir).
Bölümde "Raporlanacak çıktılar" ilk maddeyi "Genel ortalama için güven aralığı" olarak işaretleyin.
3. Ortaya çıkan çözüm Word formatında (indirme) kaydedilir.
Hesaplamalardan önce, X değerlerinin tekrar sayısının hesaplandığı bir ön tablo oluşturulur.
| x | (x - x sr) 2 |
| 29 | 1036.84 |
| 37 | 585.64 |
| 48 | 174.24 |
| 60 | 1.44 |
| 132 | 5012.64 |
| 306 | 6810.8 |
Not: bu durumda, hesaplama kullanır Standart sapma tahmini.
Görev numarası 2: Bir parçanın üretimi için harcanan zamanı incelemek için fabrika işçileri, Ek'te sunulan parçaların harcanan zamana göre dağılımıyla sonuçlanan %10'luk rastgele tekrarlanmayan bir örneklem gerçekleştirdi. B.
Bu verilere dayanarak şunları hesaplayın:
a) bir parçanın üretimi için harcanan ortalama süre;
b) ortalama kare sapmalar (dağılım) ve standart sapma;
c) varyasyon katsayısı;
d) 0,954 olasılıkla, numune ortalamasının marjinal hatası ve fabrikada bir parçanın üretilmesi için harcanan ortalama sürenin beklendiği olası sınırlar;
e) 0,954 olasılıkla, numune fraksiyonunun marjinal hatası ve imalatları için minimum zaman harcayan parça sayısının özgül ağırlığının sınırları. Hesaplamalar yapmadan önce problemin şartlarını yazıp tabloyu doldurmak gerekir. 2.1
Çözüm.
Bir çözüm elde etmek için aşağıdaki parametreleri belirtin:
- İstatistiksel serinin türü: Kesikli bir seri verilir;
- Grup sayısı: gruplamayın;
- Genel ortalama, varyans ve standart sapma için bir güven aralığı oluşturmak için: y= 0.954 ;
- Genel kesrin güven aralığını oluşturmak için: y= 0.954 ;
- Örnek: 10 ;
- Rapor çıktısı: Genel avarya için güven aralığı, Genel pay için güven aralığı;
Görev numarası 3: 2 No'lu görevde yapılan hesaplamaların sonuçlarını kullanarak ve bu verilerin tekrarlı seçim kullanılarak elde edildiğini varsayarak, şunları belirleyin:
b) marjinal pay hatasını %20 azaltmak için örneklem boyutunun nasıl değiştirileceği.
Çözüm.
2 numaralı görevde yapılan hesaplamaların sonuçlarını kullanarak ve bu verilerin tekrarlanan seçim kullanılarak elde edildiğini varsayarak, şunları belirleyin:
a) Özelliğin bireysel değerlerinin, genel nüfusta 0.954 güven olasılığı ile modu aştığı işletmelerin payının değerinin aşmayacağı sınırlar;
b) marjinal pay hatasını %20 azaltmak için örneklem boyutunun nasıl değiştirileceği.
Görev numarası 4: Ortalama bobin ağırlığını belirlemek için bir grup ampulden %20 rastgele tekrarlanmayan bir numune alındı. Örnekleme sonuçları aşağıdaki gibidir. Ağırlık, mg: 38-40; 40-42; 42-44; 44-46. Spiral sayısı: 15; 30; 45; 10. 0,95 olasılıkla, tüm elektrik lambaları grubu için bobinin ortalama ağırlığının içinde bulunduğu güven sınırlarını belirleyin.
Çözüm.
Aşağıdaki parametreleri girin:
- İstatistiksel serinin türü: Bir aralık serisi belirtilir;
- Genel ortalama, varyans ve standart sapma için bir güven aralığı oluşturmak için: y = 0.95 ;
- Örnek: 20 ;
- Rapor: Genel ortalama için güven aralığı.
Görev numarası 5: 16.000 adetlik bir ürün grubundan elektrik lambaları fabrikasında. 1600 adet numune üzerinde alınan lambalar. (rastgele, tekrarlanmayan seçim), bunlardan 40 adet. evli olduğu ortaya çıktı. Tüm ürün partisi için reddedilme yüzdesinin olacağı sınırları 0,997 olasılıkla belirleyin.
Çözüm.
Burada N = 16000 , n = 1600 , w = d / n = 40/1600 = 0.025.
